統計とコンピュータ
こんなセンター試験数学２Ｂがあったらいいなー，てな感じで。
予備校の関係者とかじゃないんで，多少の不備とかは大目に見てください。 最低限，要約位に書いてあることは前提。 本番かんぜんに勉強せずに受ける人はそのまま解くのもありかと。
※ 第一問の問題文および解答が間違っていたので修正しました。 プリントアウトしてる人とかは確認をお願いします。
第１問 （配点２０）
| ｙ＼ｘ | ０ | １ | ２ |
| １ | ４ | ７ | ４ |
| ２ | ２ | ６ | ２ |
| ３ | ４ | １０ | ６ |
| ４ | １ | １４ | ０ |
| ５ | １０ | ６ | ４ |
| ６ | ９ | ７ | ４ |
（１） 変量ｘが各々０枚，１枚，２枚となる場合の相対度数は，順に［ア］．［イ］，［ウ］．［エ］，［オ］．［カ］であり，変量ｘの平均値は［キ］．［ク］である。 また，ｘのメジアン（中央値）は［ケ］，モードは［コ］である。
（２） 各回に対して，ｘとｙの和を計算した。 これを変量ｚとする。 ｚの最大値は［サ］で，ｚのレンジは［シ］である。 また，ｚの平均値は［ス］．［セ］で，メジアンは［ソ］，モードは［タ］である。
（３） ｘの分散は［チ］．［ツ］であり，ｙの分散は［テ］．［ト］である。
また，ｘとｙの相関係数は［ナ］である。
ただし，［ナ］に当てはまるものを次の０〜Bのうちから一つ選べ。
０ −０．９７５ @ −０．１７２ A ０．５６２ B ０．８２３
第２問 （配点２０）
次の資料Ａは２０人の生徒の倫理の試験の点数である。
| 出席番号 | １ | ２ | ３ | ４ | ５ | ６ | ７ | ８ | ９ | １０ | １１ | １２ | １３ | １４ | １５ | １６ | １７ | １８ | １９ | ２０ |
| 倫理の点数 | ３ | ６ | ４ | ４ | ６ | ５ | ４ | ５ | ５ | ４ | ３ | ３ | ４ | ８ | ４ | ７ | ８ | ５ | ４ | ８ |
（１） 資料Ａの平均値は［ア］点で，標準偏差は
点である。
また，メジアンは［オ］点で，モードは［キ］点である。
［カ］
さらに，レンジは［ク］点である。
（２） 資料Ａとは別の２０人の生徒の倫理の点数に関する資料Ｂがある。
資料Ｂの平均値は６点，標準偏差は２点である。
これら４０人の倫理の点数の平均点は［ケコ］点で
［サ］
標準偏差は
点である。
（３） 次の資料Ｃは，資料Ａと同じ２０人の生徒の日本史の試験の点数である。 ただし，ａ≧５とする。
| 出席番号 | １ | ２ | ３ | ４ | ５ | ６ | ７ | ８ | ９ | １０ | １１ | １２ | １３ | １４ | １５ | １６ | １７ | １８ | １９ | ２０ |
| 日本史の点数 | ａ | ８ | ５ | ａ | ５ | ５ | ３ | ａ | ５ | ３ | １０ | ５ | ５ | ａ | ４ | ４ | ａ | ７ | ５ | ６ |
このとき資料Ｃの平均値は［チ］＋［ツ］点であり，
［テ］
メジアンは［ト］点である。
また，モードは［ナ］点である。
また，倫理の点数と日本史の点数の和をＸとする。
Ｘの最小値は［ニ］点であり，
Ｘの平均点は［ヌ］＋［ネ］点である。
［ノ］
第３問 （配点２０）
| 英語〔点〕 | 国語〔点〕 | |
| イ | １０１ | １０３ |
| ロ | １０５ | １０９ |
| ハ | ９３ | ９５ |
| ニ | ９８ | ９５ |
| ホ | １００ | １００ |
| ヘ | １０３ | １０１ |
| ト | １０１ | ９９ |
| チ | ９３ | １００ |
| リ | １０１ | １００ |
| ヌ | １０１ | ９３ |
| ル | ９３ | ９３ |
| ヲ | ９７ | ９９ |
| ワ | ９９ | １００ |
| カ | １００ | １００ |
| ヨ | １００ | ９９ |
（１） 英語が９３点である生徒の相対度数は［ア］．［イ］であり，国語が１００点である生徒の相対度数は［ウ］．［エ］である。 また，英語の平均値と国語の平均値はそれぞれ［オカ］．［キ］点，［クケ］．［コ］点である。
（２） 英語の点数の分散は［サシ］．［ス］であり，国語の点数の分散は［セソ］．［タ］である。 また，英語の点数と国語の点数の相関係数は［チ］．［ツテト］である。 ただし，必要ならば√４６７７１９＝６８３．９０，√５９２３６５＝７６９．６５を用いてもよい。
第４問 （配点２０）
次の表は，あるクラスで行った試験の得点に関する度数を表したものである。
試験の得点を変量ｘで表す。
８ ３ ５ ６ ５ ２ ３ ６ １０
５ ６ ４ ６ ６ ４ ７ ５ ４
３ ６ ９ ５ ４ ７ ６
（１） 変量ｘが各々４点，５点，６点となる場所の相対度数は，順に［ア］．［イウ］，［エ］．［オカ］，［キ］．［クケ］である。
（２） 成績の中央値（メジアン）は［コ］．［サ］である。
（３） 変量ｘの平均値は［シ］．［ス］であり，分散は［セ］．［ソタ］である。
（４） 別のクラスで同じ試験を行った。 このクラスでの得点を変量ｙで表す。 ｙの平均値は６．４，ｙの標準偏差は１．９であった。 また，このクラスの人数は２５人である。 このとき，これら２つのクラスの受験者全体の得点の平均値は［チ］．［ツテ］であり，分散は［ト］．［ナニ］である。
第５問 （配点２０）
| Ｙ Ｘ | 数 学 | |||||
| ５ | ４ | ３ | ２ | １ | ||
英 語 | ５ | １ | ３ | １ | ０ | １ |
| ４ | １ | ０ | ７ | ５ | １ | |
| ３ | ２ | １ | ０ | ９ | ３ | |
| ２ | １ | ｂ | ６ | ０ | ａ | |
| １ | ０ | ０ | １ | １ | ３ | |
（１） ｘ＝４となる相対度数は［ア］／［イウ］である。 ｘ＝４かつｙ＝３となる相対度数は［エ］／［オカ］である。 ｘ≧３となる相対度数は［キ］／［クケ］である。 ここで，ｘ≧３である生徒に限定して考えると，ｙ＝３となる相対度数は［コ］／［サシ］である。
（２） ａ＋ｂ＝［ス］であり，ｘ＝２となる相対度数は［セ］／［ソ］で，ｘの平均値は［タチ］／［ツテ］である。
（３） ｙの平均値が１３３／５０であればａ＝［ト］，ｂ＝［ナ］である。
＜解答・解説＞
第１問
問題 アイウエオカキクケコサシスセソタチツテトナ
正解 ０３０５０２０９１１８７４７５５０５２９１
配点 ソ，タ，チツ，テト 各２点／ナ ３点／そのほか 各１点
| ｘ | ０ | １ | ２ |
| 回数 | ３０ | ５０ | ２０ |
（１） 右のように表を作り直す。
ｘが０のときの相対度数は３０÷１００＝０．３
ｘが１のときの相対度数は５０÷１００＝０．５
ｘが２のときの相対度数は２０÷１００＝０．２
ここでは相対度数が全部わかっているので，「平均値＝（変量×相対度数）の総和」を使ってみましょう。
ｘの平均値＝０×０．３＋１×０．５＋２×０．２＝０．９
小さいほうから数えて１番目〜３０番目が０，３１番目〜８０番目が１，８１番目〜１００番目が２。
よってメジアンは５０番目と５１番目の平均値で，１．
モード（最頻値）とは，最も多く現れたデータのことで，本問では１．
| ｚ | １ | ２ | ３ | ４ | ５ | ６ | ７ | ８ |
| 度数 | ４ | ９ | １４ | １３ | ３０ | １５ | １１ | ４ |
（２） 右のように表を作り直す。
ｚの最大値は８．
レンジは，最大値−最小値＝８−１＝７
ｚの平均値＝（１×４＋２×９＋３×１４＋×１３＋５×３０＋６×１５＋７×１１＋８×４）÷１００
＝（４＋１８＋４２＋５２＋１５０＋９０＋７７＋３２）÷１００＝４．６５≒４．７
メジアンは５０番目と５１番目の平均値なので，ここに当てはまる変量を探せばいい。
表をぱっと見ると，大きいほうに集中しているので，大きいほうから数えたほうが楽そう（←ここに気づくのがポイント）。
大きいほうから数えて１番目〜４番目は８，５番目〜１５番目が７，１６番目〜３０番目が６，３１番目〜６０番目が５．
よってメジアンは５０番目と５１番目の平均値，すなわち５．
モードは５。
（３） ｘの分散＝（１×０．５＋４×０．２）−０．９２
＝１．３−０．８１＝０．４９≒０．５
ｙの平均値＝（１×１５＋２×１０＋３×２０＋４×１５＋５×２０＋６×２０）÷１００
＝（３＋４＋１２＋１２＋２０＋２４）÷２０＝７５÷２０＝１５／４
ｙの分散
＝（１×１５＋４×１０＋９×２０＋１６×１５＋２５×２０＋３６×２０）÷１００−（１５／４）２
＝（３＋８＋３６＋４８＋１００＋１４４）÷２０−（１５／４）２
＝３３９÷２０−（１５／４）２＝（３３９×４−１５２×５）÷（４２×５）
＝（１３５６−１１２５）÷（１６×５）＝２３１／８０＝２．８８７５≒２．９
ｘとｙの共分散＝（１×７＋２×１０＋３×１０＋４×１６＋５×６＋６×１３＋１０×４＋１２×４）÷１００−０．９×３．７５
＝（７＋２０＋３０＋６４＋３０＋７８＋４０＋４８）÷１００−３．３７５
＝３．１７−３．３７５＝−０．２０５
∴相関係数＝−０．２０５÷｛（√０．４９）×（√２３１／８０）｝
＝−２０５×（４√５）÷（７００√２３１）＝−（４１√１１５５）÷８０８５
≒−０．１７２３４≒−０．１７２
なんですが，√１１５５なんて計算できませんよね。
ここでは，表を見て，この変量が全く相関がないことから０に一番近い@を選びます。
まあ，サイコロとコインなんて，関係あるはずはありませんから。
全統模試でこの事実を使って解く問題がよくあるので，入れてみました。
選択肢があるときはマジメに計算しないほうが結果としてよくなることが多いです。
第２問
問題 アイウエオカキクケコサシスセソタチツテトナニヌネノ
解答 ５６５５９２４５１１２３５５１０４ａ４５５７９ａ４
配点 ケコサ，シスセソタ，ニ，ヌネノ 各３点／そのほか 各１点
（１） 普通に足し算をすれば，和は１００点。
２０で割れば，平均値は５点だとわかる。
平均値が整数の時の分散は，「偏差の平方の平均」を使ったほうが楽なことが多い。
それに倣って偏差の平方を計算します。
０は４人，１は９人，４は４人，９は３人。
よって分散は，
（１×９＋４×４＋９×３）÷２０＝（９×４＋４×４）÷２０＝（９＋４）÷５＝１３／５
よって標準偏差は（√６５）／５
得点の低い順に並べると，「３，３，３，４，４，４，４，４，４，４，５，５，５，５，６，６，７，８，８，８」となる。
メジアンは，１０番目と１１番目の平均値より，９／２．
モードは７回という，一番多い４．
レンジは８−３＝５。
（２） 唯一統計で応用があるとすればこういうパターンだと思います。
ちなみにこれはベネッセの模試でよくでてきます。
資料Ｂの２０人の合計点は２０×６〔点〕。
よって平均値は
（全体の得点の総和）÷（人数）＝（１００＋２０×６）÷４０＝（５＋６）÷２＝１１／２
平均値が整数でないときの分散は，「分散＝（２乗の平均）−（平均の２乗）」をつかったら楽なことが多いです。
その方針で解いていきます。
Ｂの分散は４，平均の２乗は３６なので，
Ｂの生徒の得点の２乗の平均値＝４＋３６＝４０⇔Ｂの生徒の得点の２乗の総和＝８００
Ａの生徒の得点の２乗の平均値＝１３／５＋２５⇔Ａの生徒の得点の２乗の総和＝（１３／５＋２５）×２０＝５５２
よって，求める標準偏差は，
√｛（８００＋５５２）÷４０−１２１÷４｝
＝｛√（４００＋２７６−５×１２１）｝÷２√５＝（√７１）÷２√５＝（√３５５）／１０
（３） 文字に惑わされずに合計すると，８０＋５ａ〔点〕。
２０で割れば，平均値は４＋ａ／４だとわかる。
ａが抽象的でわかりにくいですが，小さいほうから順に並べると，
３，３，４，４，５，５，５，５，５，５，５，…
となり，１０番目と１１番目の平均値５がメジアン。
ａ＝５の場合もこれでいいです。
モードは７回現れた５です。
ａがどの値をとっても，７回以上現れることはありません。
倫理の点数の最小値は３，日本史の点数の最小値は３なので，Ｘ＝６，７，８，…と調べていって，存在したものが最小値。
Ｘ＝６であるためには日本史が３点であることが必要だが，日本史が３点の７番と１０番はともに倫理が４点であるので不適。
Ｘ＝７である生徒は２人存在しているので適する。
よって最小値は７である。
最後は，まあとりあえず普通に計算してみると，
｛１００＋（８０＋５ａ）｝÷２０＝９＋ａ／４
なんですが，よく見ると５＋（４＋ａ／４）になっています。
一般にデータｘ，ｙについて，「（ｘ＋ｙ）の平均値＝（ｘの平均値）＋（ｙの平均値）」が成り立ちます。
あまり使用価値がないと思ったので要約には書いていません。
だってこんなの普通に計算してもたいしたことないでしょう？
第３問
問題 アイウエオカキクケコサシスセソタチツテト
解答 ０２０３９９０９９１１２３１５３０６１４
配点 アイ，ウエ 各２点／チツテト ４点／そのほか 各３点
| 英語〔点〕 | 国語〔点〕 | |
| イ | １ | ３ |
| ロ | ５ | ９ |
| ハ | −７ | −５ |
| ニ | −２ | −５ |
| ホ | ０ | ０ |
| ヘ | ３ | １ |
| ト | １ | −１ |
| チ | −７ | ０ |
| リ | １ | ０ |
| ヌ | １ | −７ |
| ル | −７ | −７ |
| ヲ | −３ | −１ |
| ワ | −１ | ０ |
| カ | ０ | ０ |
| ヨ | ０ | −１ |
（１） こういう問題こそ仮の平均を使いましょう。
とりあえず相対度数を求める。
英語が９３点である生徒は３人なので，その相対度数は，３÷１５＝１÷５＝０．２
国語が１００点である生徒は５人なので，その相対度数は，５÷１５＝１÷３＝０．３３３３３…≒０．３
平均値なのですが，とりあえず実際の得点から１００引いた値で散布図を作ったのが右図です。
試験のときには，問題文の表の横に書き込んでいけばいいと思います（こういう風にきれいに表を作ると時間がかかる）。
（ｘの平均値）＝１００＋（５＋３＋１×４−１−２−３−７×３）÷１５
＝１００−１５÷１５＝９９〔点〕
（ｙの平均値）＝１００＋（９＋３＋１−１×３−５×２−７×２）÷１５
＝１００−１４／１５＝１００−０．９３３３３３…
≒１００−０．９３＝９９．０７≒９９．１〔点〕
（２） （ｘの分散）＝（１×５＋４＋９×２＋２５＋４９×３）÷１５−１
＝１９９÷１５−１＝（１９９−１５）÷１５
＝１８４÷１５＝１２．６６６６６…≒１２．３
（ｙの分散）＝（１×４＋９＋２５×２＋４９×２＋８１）÷１５−（１４／１５）２
＝２４２÷１５−１９６÷２２５＝（３６３０−１９６）÷２２５
＝３４３４÷２２５＝１５．２６２２２２…≒１５．３
（ｘとｙの共分散）＝（３＋４５＋３５＋１０＋３−１−７＋４９＋３）÷１５−１×（１４／１５）
＝（１４０−１４）÷１５＝４２／５＝８．４
４２
５
（相関係数）＝ ＿＿＿ ＿＿＿＿
/１８４× /３４３４
＼/ １５ ＼/ ２２５
４２
５
＝ ＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿
２ /２×２３×√２×１７×１０１
＼/ ３×５ １５
＿＿
＝ ３×４２×√１５
＿＿＿＿＿＿＿＿＿
４√１７×２３×１０１
＿＿＿＿＿＿
＝６３√５９２３６５＝６３×７６９．６５
７８９８２ ７８９８２
＝４８４８７．９５≒４８５００＝９７ ≒０．６１４
７８９８２ ７９０００ １５８
小数のまま計算するなら，
８．４÷｛（√１２．２６）×（√１５．２６）｝
＝４２０÷√４６７７１９＝４２０÷６８３．９０＝６００÷９７７
＝０．６１４１２４８…≒０．６１４
センター試験がどちらを想定して近似値を与えるのかがわからないのでとりあえず両方書いておきました。
もし逆にやってしまったときのために，開平法を身に付けておくのもいいかもしれません。
まあ，それよりも普通に根号が開ける数値にしてある可能性のほうが高いと思いますが。
第４問
問題 アイウエオカキクケコサシスセソタチツテトナニ
解答 ０１６０２００２８５０５４３４４５９０３７８
配点 チツテ，トナニ 各４点／そのほか 各２点
| ｘ | 度数 | 累積度数 |
| ２ | １ | １ |
| ３ | ３ | ４ |
| ４ | ４ | ８ |
| ５ | ５ | １３ |
| ６ | ７ | ２０ |
| ７ | ２ | ２２ |
| ８ | １ | ２３ |
| ９ | １ | ２４ |
| １０ | １ | ２５ |
| 合計 | ２５ | ／ |
こういう風に，資料が整理されていない問題では度数分布表や累積度数分布表を作ると上手くいくことが多い。 きれいに作る必要は無いんですが，とりあえず度数を数えないことには解けません。
（１） 受験者は全部で２５人。
４点は４人。
５点は５人。
６点は７人。
相対度数はそれぞれ，
４÷２５＝０．１６
５÷２５＝０．２０
７÷２５＝０．２８
（２） 度数分布表を作るついでに累積度数分布表を作ればメジアンは一発。 中央が１３番目なので，下から１３番目が含まれている５がメジアン。
（３） （ｘの平均値）
＝（２×１＋３×３＋４×４＋５×５＋６×７＋７×２＋８×１＋９×１＋１０×１）÷２５
＝（２＋９＋１６＋２５＋４２＋１４＋８＋９＋１０）÷２５＝５．４
（ｘの分散）
＝（４×１＋９×３＋１６×４＋２５×５＋３６×７＋４９×２＋６４×１＋８１×１＋１００×１）÷２５−５．４２
＝（４＋２７＋６４＋１２５＋２５２＋９８＋６４＋８１＋１００）÷２５−２９．１６
＝３．４４
（４） （ｙの合計）＝２５×（ｙの平均値）
＝２５×６．４＝１６０
よってｘとｙをあわせた平均値は，
（１３５＋１６０）÷５０＝５．９
σｙ２＝（ｙ２の平均値）−（ｙの平均値）２を用いると，
３．６１＝（ｙ２の平均値）−４０．９６
⇔（ｙ２の平均値）＝４４．５７
だから答えは，
｛（ｘ２の平均値）×２５＋（ｙ２の平均値）×２５｝÷５０−５．９２
＝｛（ｘ２の平均値）＋（ｙ２の平均値）｝÷２−３４．８１
＝（３２．６＋４４．５７）÷２−３４．８１
＝３８．５８５−３４．８１＝３．７７５≒３．７８
ちなみにｙ２の総和が整数にならないのは，作問時にもととなったデータの標準偏差を開平法で出したからです。
深い意味はありません。
いや，大学入試センターだったら指摘が来るかもしれませんが。
第５問
問題 アイウエオカキクケコサシスセソタチツテトナ
解答 ７２５７５０７１０８３５３１５７８２５１２
配点 セソ，タチツテ 各３点／ト，ナ 両方正解で４点／そのほか 各２点
この問題は，平成１４年のセンター試験数学２Ｂの問題をもとにして作っています。 つーかほとんどいっしょ（数値もいっしょ）なので，過去問をそのまま収録したと考えても差し支えありません。 ただし，旧過程の「確率分布」の問題なので，そのまま載せても解けないだろうとし，過去問円周のときにみんなとばすだろうと思ったので，作り直しました。 「確率分布」の問題がちょっと変えるだけで「統計とコンピュータ」の問題に変わるというのは，興味深いと思いませんか？ 思いませんか。そうですか。
（１） 解き方はとりあえず求められた数値を探して全体で割るだけです。
ｘ＝４となる相対度数は，１４÷５０＝７／２５
ｘ＝４かつｙ＝３となる相対度数は，７／５０
ｘ≧３となるのは，ｘ＝３，４，５となる場合で，その相対度数は，３５÷５０＝７／１０
ｘ≧３を全体と考えると，全体が３５ということになる。
その中で，ｙ＝３となる度数は８なので，求める相対度数は，８／３５
（２） 表の中身を全部足すと，ａ＋ｂ＋４７となるので，生徒全員が５０人であることから，
ａ＋ｂ＋４７＝５０∴ａ＋ｂ＝３ …（＊）
だからｘ＝２となる相対度数は（１＋ｂ＋６＋０＋ａ）÷５０＝（３＋７）÷５０＝１／５
（ｘの平均値）＝（１×５＋２×１０＋３×１５＋４×１４＋５×６）÷５０＝７８／２５
（３） （ｙの平均値）
＝｛１×（ａ＋８）＋２×１５＋３×１５＋４×（ｂ＋４）＋５×５｝÷５０
＝（ａ＋４ｂ＋１２４）／５０＝１３３／５０
⇔ａ＋４ｂ＋１２４＝１３３⇔ａ＋４ｂ＝９ …（＃）
（＃）−（＊）より，３ｂ＝６∴ｂ＝２
（＊）に代入して，ａ＝１