統計の問題の解答。重かったので別のページとさせてもらった。 問題はこちら。 よく分からないところ，間違ってる箇所があったら遠慮なく質問されたい。
| ア | イ | ウ | エ | オ | カ | キ | ク | ケ | コ | サ | シ | ス | セ | ソ |
| ０ | ２ | ０ | ２ | ０ | ６ | ２ | ４ | ６ | ０ | ２ | ４ | ０ | １ | ４ |
| １ | １ | １ | １ | １ | ２ | ２ | ２ | |||||||
| タ | チ | ツ | テ | ト | ナ | ニ | ヌ | ネ | ノ | ハ | ヒ | フ | ヘ | ホ |
| ０ | ８ | ０ | ８ | ０ | ０ | ９ | ||||||||
| ３ | ３ | ３ | ||||||||||||
解答と配点は発表されていない。 配点は予想に基づく。 設問自体は簡単なのだが，計算量が多いので，計算法を誤ると大幅な時間のロスになってしまう。
（１） ア．イ＝４÷２０＝０．２
ウ．エ＝４÷２０＝０．２
オ．カ＝１−（０．２＋０．２）＝０．６
最後は１から引くのがポイントである。
もちろん今回は１２÷２０＝０．６としても大して時間の差はないが，相対度数の和が１であることを使わないと大幅に時間をくう場合もあるので，この方法に慣れておきたい。
表を眺めればｚの最大値は求まるわけだが，最終的にＶｚを求めないといけないので，どのみち表をつくらなければならない。 だから先にこの時点で作っておくのである。
| ｚ | ２ | ３ | ４ | ６ |
| 度数 | ２ | ４ | １０ | ４ |
| ｚ−（ｚの平均値） | −２ | −１ | ０ | ２ |
表を見ると，ｚの最大値は６であり，相対度数は０．２。
ｚの平均値
＝（２×２＋３×４＋４×１０＋６×４）÷２０
＝（４＋１２＋４０＋２４）÷２０
＝（２＋６＋２０＋１２）÷１０＝４．０
である。
あるいは平均値の線形性を用いて，
ｚの平均値＝（ｘ＋ｙ）の平均値＝（ｘの平均値）＋（ｙの平均値）
として，ｙの平均値＝１．６からｚの平均値＝２．４＋１．６＝４．０とする方法もある。
（３）ではｙの平均値が必要なので，これもあながち悪い解法ではない。
ｚの分散Ｖｚを求めるが，その際に「ｚの偏差の２乗の平均」を計算するか，
「（ｚ２の平均）−（ｚの平均）２」を計算するかが問題である。
一般的に，平均が整数なら前者，それ以外の場合は後者の方が楽であることが多い。
今回ｚの平均値は整数なので，ｚ−（ｚの平均値）の表を作って前者でやる。
Ｖｚ＝（４×６＋１×４）÷２０＝（１２＋２）÷１０＝１．４
こうやってみると，ｚ＝４の部分は０だから計算に入っていない。
また，（−２）２＝２２＝４だから，ひとまとめに計算できる。
だから整数のときは前者なのである。
もちろん例外がないとはいわないが。
（３） ｘの標準偏差σｘを求める。
ｘの平均値は整数ではない。
だから後者である。
σｘ２＝（１×０．２＋４×０．２＋９×０．６）−２．４２
＝０．２＋０．８＋５．４−（２×１．２）２＝６．４−４×１．４４
＝４×（１．６−１．４４）＝４×０．１６
∴σｘ＝２×０．４＝０．８
このように２．４２などは無闇に計算しないことである。
もちろん計算しないとどうしようもない場合もあるが，筆算をするのはそのときでも遅くはない。
それよりも暗算ですませられないかと考えたほうがよい。
ｙの標準偏差σｙを求める。
同じように考えるのだが，それにはまずｙの平均値が必要である。
（２）でｙの平均値を求めた場合はそれでよい。
だがｚの表を作ったのでｚの平均値は直接求めるのが本筋であろう。
その場合ｙの平均値は，
ｙの平均値＝｛（ｘ＋ｙ）−ｘ｝の平均値＝（ｚ−ｘ）の平均値
＝（ｚの平均値）−（ｘの平均値）＝４．０−２．４＝１．６
とする。
このように平均値の線形性は使おうという意識を常に持っていないと見すごしてしまう。
しかも計算を楽にするために公式だから使わなくても解けてしまうのである。
センター試験は制限時間が短いことで有名だが，その打開策は決して計算力や天下り的な発想ではない。
話がそれたが，とりあえずσｙ２を求めてからσｙを求めよう。
σｙ２＝（１×１２＋４×４＋９×４）÷２０−１．６２
＝（６＋８＋１８）÷１０−１．６２＝３．２−１．６２
＝１６×（０．２−０．１６）＝１６×０．０４
∴σｙ＝４×０．２＝０．８
最後に相関係数ｒであるが，σｘ，σｙが求まっているので， 共分散ｃが必要である。 ところがｃを求めるにはｘｙの平均値，ｘの平均値，ｙの平均値が必要であるから，目標はｘｙの平均値である。
| ｘｙ | １ | ２ | ３ | ４ | ９ |
| 度数 | ２ | ４ | ８ | ２ | ４ |
右の表より，
ｘｙの平均値
＝（１×２＋２×４＋３×８＋４×２＋９×４）÷２０
＝（１＋４＋３×４＋４＋２×９）÷１０＝３９／１０＝３．９
∴ｃ＝ｘｙの平均値−（ｘの平均値）×（ｙの平均値）
＝３．９−２．４×１．６
∴ｒ＝ｃ／σｘσｙ
＝３．９−２．４×１．６＝３×（１３０−８×１６）
０．８×０．８ ６４
＝３×２／６４＝３／３２＝０．０９３７５≒０．０９
| ア | イ | ウ | エ | オ | カ | キ | ク | ケ | コ | サ | シ | ス | セ | ソ |
| ０ | ４ | ８ | ５ | ５ | ０ | ４ | ５ | ０ | ４ | ５ | ||||
| ２ | ２ | ３ | ３ | ３ | ||||||||||
度数分布表ではなく個々のデータが与えられた場合の問題である。 生徒番号が決まればｘ，ｙは決定する。 数学的にいえば，ｘ，ｙはともに生徒番号の関数である。
（１） メジアンやモードなど一部例外はあるが，基本的に統計学で扱う数値は平均値を考える必要がある。
今回も，分散を求めよと言う設問であるが，分散を求めるには平均値が必要なので，まずｘの平均値を求める。
ｘの平均値＝（３＋４＋５＋４＋４）÷５＝（１５＋５）÷５＝３＋１＝４
平均値が整数なので偏差を考えるほうが楽である。
偏差を生徒番号の昇順に並べると「−１，０，１，０，０」となる。
これは実際の試験の時には表のｘの欄の下に書くとよい。
よってｘの分散Ｖｘは，
Ｖｘ＝（１＋０＋１＋０＋０）÷５＝２／５＝０．４
説明の都合上０も書いたが，実際の試験のときは省略してよい。
また，１＋１もまとめて１×２と書いてよい。
と言うより，その程度は頭のなかでできてほしい。
（２） 形式にまどわされてはいけない。
条件は「ｔの平均値＝０」である。
「ｔ＝ｙ−ウ」の両辺の平均値を取ると，
＿ ＿＿＿ ＿ ＿
ｔ＝ｙ−ウ⇔０＝ｙ−ウ⇔ｙ＝ウ
となる。
何のことはない，ｙの平均値を求めよと言う問題である。
だから答えは，
ｙの平均値＝（７＋９＋１０＋８＋６）÷５＝（１０＋３０）÷５＝８
（３） Ｖｕ＝｛（√エ）／オ｝２Ｖｙ
であるから，｛（√エ）／オ｝２＝Ｖｘ÷Ｖｙである。
つまりｙの分散を求めればよい。
いま，ｙの平均値は８なので，ｙの偏差は順に「−１，１，２，０，−２」となる。
∴Ｖｙ＝（１×２＋４×２）÷５＝２×（１＋４）÷５＝２
＿ ＿ ＿
∴（ √エ ）＾２＝２÷２＝１ ∴√エ＝√５
オ ５ ５ オ ５
ちなみに分散の性質を使わずに，（√エ）／オ＝ｋなどとおいてｕに関する表をかいても できないわけではないが，相当時間がかかると思われるし，作問者の想定した答でもなかろう。 この手の手法は旧課程の確率分布のときもセンター試験で頻出であった。 だから旧課程のＩＩＢの対策本の時は確率分布を選べと書いてあったのに新課程になって数列・ベクトルを選べと書いてある本は信用ならない。 そもそも本来数学においては，確率論と統計学は表裏一体のものであり，微分と積分のようにならび称されるものである。 まあ本業が数学ではなく精神科医学である人が書いた本なら仕方ないかも知れないが。
（４） 「ｘの偏差×ｙの偏差」を順に書くと「１，０，２，０，０」となる。
∴ｃｘｙ＝（１＋２）÷５＝３／５
ここで，σｘ＝√０．４，σｙ＝√２であるから，
ｒ＝（３／５）÷｛（√０．４）×√２｝
∴ｒ＾２＝ ３＾２ ＝ ９ ＝０．４５
５＾２×０．４×２ ２×１０
ｒ´について。
ｕと言うのはｙを正数倍した変量なので，ｘとｕの相関係数はｘとｙの相関係数に等しい。
∴（ｒ´）２＝０．４５
| ア | イ | ウ | エ | オ | カ | キ | ク | ケ | コ | サ | シ | ス | セ | ソ |
| ２ | ４ | ５ | ||||||||||||
| ３ | ２ | ２ |
グラフや表の読み取りの問題。 解答は容易。 しかし根拠を説明せよといわれると説明できない，出版社泣かせの問題。
（１） ０やEは論外である。 相関係数は−１以上１以下の範囲にある。 あと（２）の相関表を見たほうが分かりやすいが，負の相関が読み取れるだろう。
ここからが問題なのだが，おそらく受験生は，散布図中の点がある程度散らばっているので，−０．９と−０．６の ２者で比べると−０．６のほうが適切であり，よって答はAであるとするのだと思われる。 しかし冷静に考えてみてほしい。 「相関係数が−０．９または−０．６であること」は，一体誰が保証しているのであろうか。 問題文は「二つの変量ｐとｑの相関係数に最も近い値は［ア］である」としか書いていない。 もしｒｐｑ＝−０．７６であったら最も近い値は@の−０．９である。 もしｒｐｑ＝−０．２９であったら最も近い値はBの０．０である。 −０．９または０．６で比較すると言うのは，値がその２者のいずれかであることが分かっていてはじめてできることである。
しかしそれでは具体的にｒｐｑを求めるしかないということになるが，これがかなり難しい。 と言うよりも試験時間内に求めるのは不可能に近い。 一応（２）の散布図で，ｐ，ｑがそれぞれの階級値の値をとるとして計算できる。 しかし設問の順番から考えて普通の受験生には思い付かないし，思い付いたとしてもやりたくないと思う。 しかたがないのでAの−０．６をマークして次の問題に進むのである。
なお，センター試験でこの手の悪問もしくは愚問が出題されるのは日常茶飯事であり，以前も三角関数とかその辺で出題されたことがある。 解けなくてもあまり気にしてはいけない（この場合は結果的に正解の人が多いと思うが）。 センター試験で満点を取るためにはこの手の問題をいかに解くかを考えなければならないので大変である。 その意味で良問だけを集めた問題集は役に立たないのだから，まともな対策はない。 だから普通の人は満点なんか狙ってはいけないのである。 どうでもいい話だが，英語や国語で満点を狙う人はほとんどいないのに，数学で満点を狙う人が多いのはなぜだろうか。 誰か教えてほしいものである。
（２） ｐの度数を階級の下限が低いほうから順に並べると「４，１３，４，２４，５」となる。 これを表しているヒストグラムはCである。 ｑについても同様に「４，１０，１５，１６，５」となるので，これを表しているヒストグラムはDである。
| ｘ | 度数 | 累積度数 |
| ２ | １ | １ |
| ３ | ３ | ４ |
| ４ | ４ | ８ |
| ５ | ５ | １３ |
| ６ | ７ | ２０ |
| ７ | ２ | ２２ |
| ８ | １ | ２３ |
| ９ | １ | ２４ |
| １０ | １ | ２５ |
| 合計 | ２５ | ／ |
| ア | イ | ウ | エ | オ | カ | キ | ク | ケ | コ | サ | シ | ス | セ | ソ |
| ０ | １ | ６ | ０ | ２ | ０ | ０ | ２ | ８ | ５ | ０ | ５ | ４ | ３ | ４ |
| ２ | ２ | ２ | ２ | ２ | ２ | |||||||||
| タ | チ | ツ | テ | ト | ナ | ニ | ヌ | ネ | ノ | ハ | ヒ | フ | ヘ | ホ |
| ４ | ５ | ９ | ０ | ３ | ７ | ８ | ||||||||
| ４ | ４ | |||||||||||||
こういう風に資料が整理されていない問題は，度数分布表や累積度数分布表を作るとうまくいくことが多い。 きれいに作る必要はないが，与えられたデータをながめるだけではどうにもならない。
（１） 生徒数は２５人。
４点は４人。
５点は５人。
６点は７人。
相対度数はそれぞれ，
４÷２５＝０．１６，５÷２５＝０．２０，７÷２５＝０．２８
（２） 累積度数分布表を見て，下から１３番目が含まれている５がメジアン。
（３） ｘの平均値=（2×1+3×3+4×4+5×5+6×7+7×2+8×1+9×1+10×1）÷25
＝（２＋９＋１６＋２５＋４２＋１４＋８＋９＋１０）÷２５＝５．４
Ｖｘ＝（4×1+9×3+16×4+25×5+36×7+49×2+64×1+81×1+100×1）÷25-5.42
＝（４＋２７＋６４＋１２５＋２５２＋９８＋６４＋８１＋１００）÷２５−２９．１６
＝３２．６−２９．１６＝３．４４
あっさり求めているように見えるが，これは計算の過程を省略しているからであり，実際はかなり計算量がある。
こちらのほうが分かりやすいと思って去年はこちらしか書かなかったが，実は別解がある。
新しい変量ｘ−６を考える。
ｘ−６の値域は「−４，−３，−２，−１，０，１，２，３，４」である。
∴（ｘ−６）の平均値＝（-4×1-3×3-2×4-1×5+1×2+2×1+3×1+4×1）÷25
＝｛１×（２−５）＋２×（１−４）＋３×（１−３）＋４×（１−１）｝÷２５
＝（−３−６−６＋０）÷２５＝−３÷５＝−０．６
∴ｘの平均値＝６−０．６＝５．４
また，
Ｖｘ＝Ｖｘ−６＝（ｘ−６）２の平均値−｛（ｘ−６）の平均値｝２
＝（１×７＋４×５＋９×４＋１６×２）÷２５−０．３６
＝９５÷２５−０．３６＝３．８−０．３６＝３．４４
（４） 全体の得点の合計は，ｘの合計とｙの合計の和に等しい。
よって全体の平均値は
｛（ｘの平均値）×２５＋（ｙの平均値）×２５｝÷５０
＝｛（ｘの平均値）＋（ｙの平均値）｝÷２
＝（５．４＋６．４）÷２＝２．７＋３．２＝５．９０
Ｖｘ＝ｘ２の平均値−（ｘの平均値）２
⇔ｘ２の平均値＝Ｖｘ＋（ｘの平均値）２
⇔ｘ２の平均値＝３．４４＋５．４２＝３２．６
σｙ２＝ｙ２の平均値−（ｙの平均値）２
⇔ｙ２の平均値＝σｙ２＋（ｙの平均値）２
⇔ｙ２の平均値＝１．９２＋６．４２＝４４．５７
よって全体の分散は，
｛（ｘ２の平均値）×２５＋（ｙ２の平均値）×２５｝÷５０−５．９２
＝｛（ｘ２の平均値）＋（ｙ２の平均値）｝÷２−３４．８１
＝（３２．６＋４４．５７）÷２−３４．８１＝３８．５８５−３４．８１＝３．７７５≒３．７８
| ア | イ | ウ | エ | オ | カ | キ | ク | ケ | コ | サ | シ | ス | セ | ソ |
| ０ | ８ | ７ | １ | ５ | ９ | ａ | ８ | ２ | ７ | ５ | ９ | ０ | ｄ | ６ |
| ３ | ４ | ４ | ||||||||||||
| タ | チ | ツ | テ | ト | ナ | ニ | ヌ | ネ | ノ | ハ | ヒ | フ | ヘ | ホ |
| ｃ | ９ | ２ | ｃ | ０ | ２ | ｃ | ２ | ４ | ９ | ４ | ２ | ６ | ｄ | ７ |
| ４ | ４ | １ | １ | ２ | ２ | ２ | ３ | |||||||
別解：サシスセソタ＝ｃ９０ｄ６５，チツテ＝ｃ２９，トナニ＝ｃ２０
先に言っておくが，こういう問題はセンターのＩＩＢでは出ないと思われる。 しかも長い。 と言うより教科書で習ったことを使っていない。 しかし形式としては，センター試験で表計算ソフトが出るならこのような感じになると思われる。 尤も，私は表計算ソフト自体が出題されそうにないと思っているのだが，黒本や緑本に掲載されており， また絶対出ないとも言い切れないため，毎年ソフトウェアの扱いが出題される情報関係基礎の過去問から， 数学ＩＩＢの範囲で解けるものを探してきて出題した。
問１ 問題文中に与えられた式を題意のソフトウェアの表式を用いて記述する。
表計算ソフトが出題された場合に最低限持っておくべき知識を挙げる。 各々のセルには数値や文字のほかに数式を記述できる。 数式の中には定数のほかにセルの番地を入力することができ，その場合にはセルに入力されている数値を代入して計算される。
本問では３Ａ００１番の生徒の標準体重，肥満度Ａ，肥満度Ｂを求めるのに数式で記述しなければならない。 標準体重について。 ３Ａ００１番の生徒の身長はＢ２番地に入力されているので，Ｄ２番地には 「（Ｂ２−１００）＊０．９」すなわち「（０GF）＊@」と入力する。 肥満度Ａについて。 体重はＣ２番地，標準体重はＤ２番地に入力されているので，Ｅ２番地には「（Ｃ２／Ｄ２−１）＊１００」すなわち 「（DHａGA）＊F」と入力する。 肥満度Ｂについても同様に考えて，「（Ｃ２／Ｂ２＾３）＊１０００００００」…（＃）すなわち 「（DH０ｄE）＊ｃ」と入力する。 なお，「＾」は「／」より先に計算されるようである。 また，（＃）は「（１０００００００／Ｂ２＾３）＊Ｃ２」すなわち「（ｃH０ｄE）＊D」と入力しても 数学的には同じ値なので問題ないが，問題文を素直に解釈すれば（＃）になるはずである。
問２ 絶対値を用いて書かれているが，要するに「Ａ＜−２０のとき１，−２０≦Ａ≦２０のとき０， ２０＜Ａのとき１」となるように出力したいのである。 選択肢を見ると等号付き不等号はないようなので，Ａ＜−２０と２０＜Ａで場合わけする。 あとは選択肢を見ながら色々と試行錯誤をくり返すしかないと思われるが，次のように考えれば Ｇ２番地に入る式が分かるのではないかと思われる。
| Ａ＜−２０ | −２０≦Ａ≦２０ | ２０＜Ａ | |
| 出力 | １ | ０ | ０ |
| ０ | ０ | １ | |
| 和 | １ | ０ | １ |
Ａ＜−２０または２０＜Ａなので，またはと相性のいい和で表すことを考える。 和で表すとなると−２０≦Ａ≦２０の部分は０でなくてはならないので，０＋０である必要がある。 これを満たした上でＧ２番地に入れるべき式を考えれば，「IF(E2<-20,1,0)+IF(E2>20,1,0)」すなわち 「HAｃ」であると考えられるのではないだろうか。
Ｈ２についても同じく考える。 すると答えは「０Aｃ」であると分かる。
絶対値で表す場合について。 選択肢が６つしかないので全部試せば分かるのだが，ここでは別の考え方で解く。 たまに私大などで，「１と５を交互にくり返す数列１，５，１，５，…の第ｎ項は ［ア］＋［イ］×（［ウエ］）ｎである。」のような問題が出題されることがある。 この問題を考える。 （−１）ｎというのは−１，１，−１，１，…という風に２つの値を交互にとる。 これを用いて「３＋２×（−１）ｎ」とすれば題意をみたす。 この式の意味を考えてみよう。 ３から負の向きに２進むと１，正の向きに２進むと５になると言う主張である。 ３というのが１からも５からも同じ距離にある点だから場合分けが必要なくなっている。
本問でもこれと同様に考えよう。 −２０と２０から等距離にあるのは０である。 ０からの距離が２０より離れたら１，２０以下なら０を表示すればよいので，Ｇ２番地には 「IF(10<ABS(E2),1,0)」すなわち「IF(A,1,0)」と入力すればよい。 また，１００と１６０から等距離にある数は１３０なので，同じように考えて， 「IF(30<ABS(F2-130),1,0)」すなわち「IF(C,1,0)」と入力すればよい。
問３ 集合論の問題である。 問題中の表４に書き込みながら考えれば間違いないかと思われる。 なお，説明の都合上，判定Ａがｘ，判定Ｂがｙである人数をf（ｘ，ｙ）で表す。
（１） f（１，０）を求める。
（２） f（０，０）＝（判定Ｂが０の人数）−f（１，０）
＝（全生徒数）−（判定Ｂが１の人数）−f（１，０）＝H−（１）で求めた人数
（３） f（１，１）＝（判定Ａが１の人数）−f（１，０）＝C−（１）で求めた人数
なお，Gでもいいのではないかと思った人もいるかと思うが，問題の流れではこの時点で判定Ａが０の人数が
分かっていないと考えられるので，認められないだろう。
（４） f（０，１）（判定Ｂが１の人数）−f（１，１）＝A
問４ Ａ列が１，Ｂ列が０のものを数えればよい。
（判定Ａ，判定Ｂ）＝（０，０），（０，１），（１，０），（１，１）
なので，「判定Ａ＞判定Ｂ」なら（１，０）であり，判定ＡはＧ２，判定ＢはＨ２に入力されているので，
「IF(G2>H2),1,0)」すなわち「IF(EｄF),1,0)」と入力すればよい。